Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且點A在第一象限．
（Ⅰ）若

AF

=2

FB

，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）求三角形OAB面積的最小值（O為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線即可得出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論、三角形的面積公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y²=4x，∴焦點F（1，0）．
設(shè)直線AB方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立

x=my+1 y2=4x

，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
∵

AF

=2

FB

，
∴y₁=-2y₂．          ②
聯(lián)立①和②，消去y₁，y₂，得m=

2

4

．
∴直線AB的斜率是2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

=4

1+m2

．
∵S_△AOB=

1

2

|OF| |y1-y2|
∴S_△AOB=2

1+m2

，
∴m=0時，△OAB的面積最小，最小值是2．

點評：本題考查了直線與拋物線的相交問題，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線、直線的斜率、三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．