Question

16．已知函數(shù)f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+t-2），其中a＞0且a≠1，t∈R．
（1）若0＜a＜1，且x∈[$\frac{1}{4}$，2]時，有2f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若t=4，且x∈[$\frac{1}{4}$，2]時，F(xiàn)（x）=2g（x）-f（x）的最小值是-2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出關(guān)于x的恒等式，分離參數(shù)求出函數(shù)的最值即可得出t的范圍；
（2）利用對數(shù)運算性質(zhì)得出F（x）的解析式，討論a的范圍列出方程得出a的值．

解答 解：（1）∵2f（x）≥g（x）恒成立，即2log_ax≥log_a（2x+t-2）恒成立，
∵0＜a＜1，∴x²≤2x+t-2恒成立，即t≥x²-2x+2恒成立，x∈[$\frac{1}{4}$，2]，
令h（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，∴當x=2時，h（x）取得最大值2，
∴t≥2．
（2）當t=4時，F(xiàn)（x）=2log_a（2x+2）-log_ax=log_a$\frac{4（x+1）^{2}}{x}$=log_a[4（x+$\frac{1}{x}+2$）]．
令p（x）=4（x+$\frac{1}{x}+2$），則p′（x）=4（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$），
∴當$\frac{1}{4}$≤x＜1時，p′（x）＜0，當1＜x≤2時，p′（x）＞0，
∴p（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增．
又p（$\frac{1}{4}$）=25，p（1）=16，p（2）=18，
∴p（x）在[$\frac{1}{4}$，2]上的最大值為25，最小值為16．
若a＞1，則F（x）的最小值為log_a16=-2，解得a=$\frac{1}{4}$（舍）；
若0＜a＜1，則F（x）的最小值為log_a25=-2，解得a=$\frac{1}{5}$．
綜上：a=$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．