Question

已知數(shù)列滿足，，，是數(shù)列 的前項(xiàng)和．
（1）若數(shù)列為等差數(shù)列．
①求數(shù)列的通項(xiàng)；
②若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，試比較數(shù)列 前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的大小；
（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1） ①②當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)， （2）

解析試題分析：（1） 解等差數(shù)列問題，主要從待定系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā).①從與關(guān)系出發(fā)，得出，利用解出，從而解出首項(xiàng)與公差，② 實(shí)際是一個(gè)等比數(shù)列，分別求出數(shù)列 前項(xiàng)和與前項(xiàng)和 ，要使計(jì)算簡(jiǎn)便，需用 表示 ，比較兩者大小通常用作差法. 作差法的關(guān)鍵是因式分解，將差分解為因子，根據(jù)因子的符號(hào)討論差的正負(fù)，從而確定大小，（2） 不等式恒成立問題，首先化簡(jiǎn)不等式. 需從與關(guān)系出發(fā)，得出項(xiàng)的關(guān)系：，這是三項(xiàng)之間的關(guān)系，需繼續(xù)化簡(jiǎn)成兩項(xiàng)之間關(guān)系：，這樣原數(shù)列分解為三個(gè)等差數(shù)列，則恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為且，代入可解得
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5c/7/11yxp2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
即，又，所以，    2分
①又因?yàn)閿?shù)列成等差數(shù)列，所以，即，解得，
所以；        4分
②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f7/6/trtga2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，其前項(xiàng)和，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/13/9/h42cl2.png" style="vertical-align:middle;" />，   5分
所以其前項(xiàng)和，所以， 7分
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，    9分
（2）由知，
兩式作差，得，   10分
所以,作差得，  11分
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；      14分
因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以且，
所以，解得，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為． 16分
考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)，等比數(shù)列求和，不等式恒成立