Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E為PD中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AC，BD，交于點O，連結OE，則OE∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）連結AC，BD，交于點O，連結OE，
∵四邊形ABCD為正方形，E為PD中點，
∴OE∥PB，
∵OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA=AB=2，E為PD中點．
∴B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
設平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{m}=2a+2b-2c=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}=2b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
設二面角B-PC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角B-PC-D的大小為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．