Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinaxcosax+2cos2ax-1（a＞0）圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為A，離A最近的兩個(gè)最高點(diǎn)分別為B，C，

AB

.

AC

=16-

π2

16

（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得f(x)=

3

sin2ax+cos2ax=2sin(2ax+

π

6

)，由題意可得T=

π

2

=

2π

2a

，解方程可得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(4x+

π

6

)，解不等式2kπ-

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得f(x)=

3

sin2ax+cos2ax=2sin(2ax+

π

6

)，
令A(x0，-2)，B(x0-

T

2

，2)，C(x0+

T

2

，2)，其中T為最小正周期，
則

AB

=(-

T

2

，4)，

AC

=(

T

2

，4)

AB

•

AC

=-

T2

4

+16=16-

π2

16

，
∴T=

π

2

=

2π

2a

，解得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(4x+

π

6

)
由2kπ-

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得

kπ

2

-

π

6

≤x≤

kπ

2

+

π

12

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[

kπ

2

-

π

6

，

kπ

2

+

π

12

](k∈Z)

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及向量和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．