Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足MP=MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)度為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． π
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 先找符合條件的特殊位置，然后根據(jù)符號(hào)條件的軌跡為線(xiàn)段PC的垂直平分面與平面AC的交線(xiàn)得到M的軌跡，再由勾股定理求得答案．

解答 解：根據(jù)題意可知PD=DC，則點(diǎn)D符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足MP=MC”
設(shè)AB的中點(diǎn)為E，根據(jù)題目條件可知△PAE≌△CBE，
∴PE=CE，點(diǎn)E也符合“M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足MP=MC”
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡肯定過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)E，
而到點(diǎn)P與到點(diǎn)C的距離相等的點(diǎn)為線(xiàn)段PC的垂直平分面，
線(xiàn)段PC的垂直平分面與平面AC的交線(xiàn)是一直線(xiàn)，∴M的軌跡為線(xiàn)段DE．
∵AD=2，AE=1，∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，以及公理二等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力，推理能力，是中檔題．