Question

下列命題：①若a＞b＞0，則

1

a

＞

1

b

；②若a＞b＞0，則a+

1

b

＞b+

1

a

；③若a＞b＞0，則

2a+b

a+2b

＞

a

b

；④若a＞0，b＞0，且2a+b=1，則

2

a

+

1

b

的最小值為9，其中正確的有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：結(jié)合不等式的性質(zhì)，進(jìn)行逐個(gè)判斷即可．對(duì)于①：用不等式的取倒數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷；對(duì)于②：利用不等式的可加性進(jìn)行判斷； 對(duì)于③：則需要利用作差進(jìn)行比較大��；對(duì)于④：利用基本不等式進(jìn)行判斷．

解答： 解：對(duì)于①：
∵a＞b＞0，
∴

1

a

＜

1

b

，
∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：
根據(jù)①得

1

b

＞

1

a

＞0，
∵a＞b＞0，
利用不等式的可加性，
∴a+

1

b

＞b+

1

a

，
∴②正確；
對(duì)于③：
∵

2a+b

a+2b

-

a

b

=

(b+a)(b-a)

b(a+2b)

，
∵a＞b＞0，
∴b-a＜0，
∴

2a+b

a+2b

-

a

b

＜0，
∴

2a+b

a+2b

＜

a

b

，
∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：
∵2a+b=1，
∴則

2

a

+

1

b

=（2a+b）（

2

a

+

1

b

）
=5+2（

b

a

+

a

b

）≥5+4=9，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，
∵2a+b=1，
∴a=b=

1

3

．
∴④正確．
綜上，正確的說法有：②④，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的基本性質(zhì)、基本不等式等知識(shí)，屬于中檔題，解題中對(duì)于基本不等式，一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，防止增根的產(chǎn)生，也要注意它的使用前提：“一正二定三相等”．