Question

已知函數(shù)f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），則a+b的取值范圍是

1. A.
   （1，+∞）
2. B.
   [1，+∞）
3. C.
   （2，+∞）
4. D.
   [2，+∞）

Answer 1

C
分析：由已知條件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一個增函數(shù)，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，則 lga=-lgb，再化簡整理即可求解；或采用線性規(guī)劃問題處理也可以．
解答：（方法一）因為f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨設(shè)0＜a＜b，則0＜a＜1＜b，∴l(xiāng)ga=-lgb，lga+lgb=0
∴l(xiāng)g（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）²＞4ab=4
∴a+b＞2
故選C．

（方法二）由對數(shù)的定義域，設(shè)0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，
整理得線性規(guī)劃表達式為：，
因此問題轉(zhuǎn)化為求z=x+y的取值范圍問題，則z=x+y?y=-x+z，即求函數(shù)的截距最值．
根據(jù)導數(shù)定義，函數(shù)圖象過點（1，1）時z有最小為2（因為是開區(qū)域，所以取不到2），
∴a+b的取值范圍是（2，+∞）．
故選C．
點評：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時極易忽視a的取值范圍，根據(jù)條件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時取等號）列出關(guān)系式（a+b）²＞4ab=4，進而解決問題．