【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,E是線段SD上一點(diǎn).
(1)若E是SD的中點(diǎn),求證:SB∥平面ACE;
(2)若SA=AB=AD=2,SC=2,且DEDS,求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)由題意連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)O,連結(jié)OE,可證OE∥SB,SB∥平面ACE得證;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面SAC與平面ACE的法向量,代入公式求二面角的余弦值即可.
(1)證明:連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)O,連結(jié)OE,
∵底面ABCD是平行四邊形,∴O是BD的中點(diǎn),
∵E是SD的中點(diǎn),∴OE∥SB,
∵SB平面ACE,OE平面ACE,
∴SB∥平面ACE.
(2)∵SA⊥底面ABCD,AC平面ABCD,
∴SA⊥AC,
在Rt△SAC中,SA=2,SC=2,
∴AC=2,
∵AB=AD=2,
∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,
∴BD=2,
以O為原點(diǎn),OD為x軸,OA為y軸,過(guò)O作AS的平行線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
O(0,0,0),D(,0,0),A(0,1,0),S(0,1,2),
(,1,2),(,),
(),
∵BD⊥平面SAC,取平面SAC的一個(gè)法向量(),
設(shè)平面ACE的法向量(x,y,z),
則,取x=4,得(4,0,),
設(shè)二面角S﹣AC﹣E的平面角為θ,
則cosθ.
∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線,點(diǎn)都在雙曲線上,直線與軸相交于點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的方程,并求出點(diǎn)的坐標(biāo)(用表示);
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn).問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且,試求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某商場(chǎng)2018年洗衣機(jī)、電視機(jī)和電冰箱三種電器各季度銷量的百分比堆積圖(例如:第3季度內(nèi),洗衣機(jī)銷量約占,電視機(jī)銷量約占,電冰箱銷量約占).根據(jù)該圖,以下結(jié)論中一定正確的是( )
A. 電視機(jī)銷量最大的是第4季度
B. 電冰箱銷量最小的是第4季度
C. 電視機(jī)的全年銷量最大
D. 電冰箱的全年銷量最大
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】按照如下規(guī)則構(gòu)造數(shù)表:第一行是:2;第二行是:;即3,5,第三行是:即4,6,6,8;(即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項(xiàng)各項(xiàng)加1寫出,再各項(xiàng)加3寫出)
2
3,5
4,6,6,8
5,7,7,9,7,9,9,11
……………………………………
若第行所有的項(xiàng)的和為.
(1)求;
(2)試求與的遞推關(guān)系,并據(jù)此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),求和的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x﹣m|
(1)當(dāng)m=2時(shí),求f(x)≤9的解集;
(2)若f(x)≤2的解集不是空集,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為矩形,,,為線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若為線段的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若三棱錐的體積記為,四棱錐的體積記為,當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn).若曲線上存在,兩點(diǎn),使為正三角形,則稱為型曲線.給定下列三條曲線:
①;
②;
③.
其中型曲線的個(gè)數(shù)是
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線,點(diǎn)都在雙曲線上,直線與軸相交于點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的方程,并求出點(diǎn)的坐標(biāo)(用表示);
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn).問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且,試求直線的方程.
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