【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點都在雙曲線上，直線與軸相交于點，設坐標原點為.

（1）求雙曲線的方程，并求出點的坐標（用表示）；

（2）設點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點.問：在軸上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）若過點的直線與雙曲線交于兩點，且，試求直線的方程.

【答案】（1）；（2）存在定點，其坐標為或（3）

【解析】

（1）求得雙曲線的漸近線方程，可得，由題意可得，，可得雙曲線的方程，求出直線的方程，可令，求得的坐標；（2）求得對稱點的坐標，直線方程，令，可得的坐標，假設存在，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，結合在雙曲線上，化簡整理，即可得到定點；（3）設出直線的方程，代入雙曲線的方程，運用韋達定理，由向量數(shù)量積的性質，可得向量，的數(shù)量積為0，化簡整理，解方程可得的值，檢驗判別式大于0成立，進而得到直線的方程．

解：（1）由已知，得,故雙曲線的方程為

為直線AM的一個方向向量，

直線AM的方程為它與軸的交點為

（2）由條件，得且為直線AN的一個方向向量，

故直線AN的方程為它與軸的交點為

假設在軸上存在定點，使得,則

由及得

故即存在定點，其坐標為或滿足題設條件.

（3）由知，以為鄰邊的平行四邊形的對角線的長相等，故此四邊形為矩形，從而

由已知，可設直線的方程為并設

則由得

由及得且（*）

由

得

故符合約束條件（*）.

因此，所求直線的方程為

練習冊系列答案
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（1）求數(shù)列通項公式；

（2）求證：對任意正整數(shù)，數(shù)列，是“接近的”；

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時間（分）

頻數(shù)

將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分．（1）寫出王先生一次租車費用（元）與用車時間（分）的函數(shù)關系式；（2）若王先生一次開車時間不超過分為“路段暢通”，設表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求的分布列和期望.

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（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上一點，為橢圓長軸上一點，求的最大值與最小值；

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（1）求向量與的數(shù)量積；

（2）若點分別是線段與線段上的點，問是否存在直線，平面？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

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(3)設,在數(shù)列中取出(且)項,按照原來的順序排列成一列,構成等比數(shù)列,若對任意的數(shù)列,均有,試求的最小值.

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