Question

已知圓M：x²+（y-4）²=4，點P是直線l：x-2y=0上的一動點，過點P作圓M的切線pa、PB，切點為A、B．
（Ⅰ）當切線PA的長度為2

3

時，求點P的坐標；
（Ⅱ）若△PAM的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求線段AB長度的最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°，所以MP=

(0-2b)2+(4-b)2

=

AM2+AP2

=4，即可點P的坐標；
（Ⅱ）設P（2b，b），因為∠MAP=90°，所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，其方程為：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

，即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0，即可得出結論；
（Ⅲ）求出點M到直線AB的距離，利用勾股定理，即可求線段AB長度的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題可知，圓M的半徑r=2，設P（2b，b），
因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°，
所以MP=

(0-2b)2+(4-b)2

=

AM2+AP2

=4，解得b=0或b=

8

5

所以P(0，0)或P(

16

5

，

8

5

)…4分
（Ⅱ）設P（2b，b），因為∠MAP=90°，所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，
其方程為：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y-4=0 x2+y2-4y=0

，…7分
解得

x=0 y=4

或

x= 8 5 y= 4 5

，所以圓過定點(0，4)，(

8

5

，

4

5

)…9分
（Ⅲ）因為圓N方程為（x-b）²+（y-

b+4

2

）²=

4b2+(b-4)2

4

即x²+y²-2bx-（b+4）y+4b=0 　　　　　　　　　　    …①
圓M：x²+（y-4）²=4，即x²+y²-8y+12=0…②
②-①得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為：2bx+（b-4）y+12-4b=0…11分
點M到直線AB的距離d=

4

5b2-8b+16

…13分
相交弦長即：AB=2

4-d2

=4

1- 4 5b2-8b+16

=4

1- 4 5(b- 4 5 )2+ 64 5

當b=

4

5

時，AB有最小值

11

…16分．

點評：本題考查直線和圓的方程的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．