已知裝曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的漸近線過點(diǎn)(1,
3
)
,F(xiàn)1,F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點(diǎn),P為雙曲線上的任意一點(diǎn),且∠F1PF2=
π
3
,S△PF1F2=12
3

(1)求雙曲線的兩條漸近線的夾角;
(2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題意求出漸近線的傾斜角,進(jìn)而求雙曲線的兩條漸近線的夾角;
(2)由(1)知,b=
3
a
,c=2a;借助于余弦定理及三角形面積公式求出a,進(jìn)而求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解答: 解:(1)∵裝曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的漸近線過點(diǎn)(1,
3
)
,
∴這條漸近線的傾斜角的正切值為
3
1
=
3
,
故傾斜角為
π
3
,
則雙曲線的兩條漸近線的夾角為π-2×
π
3
=
π
3

(2)由(1)知,b=
3
a
,c=2a;
∵∠F1PF2=
π
3

∴|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2-2|F1P||PF2|cos
π
3
,
即16a2=|F1P|2+|PF2|2-|F1P||PF2|;
又∵S△PF1F2=12
3
=
1
2
|F1P||PF2|sin
π
3

∴|F1P||PF2|=48,
16a2=(|F1P|-|PF2|)2+|F1P||PF2|,
即16a2=4a2+48,
則a2=4,
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
-
y2
12
=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了雙曲線的圖象及雙曲線與正余弦定理及三角形面積公式的聯(lián)合應(yīng)用,屬于難題.
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(2)若a=
5
,b=1,求△ABC的面積.

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已知離心率為e的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與雙曲線x2-y2=1有相同的焦點(diǎn),且直線y=ex分別與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn),若C、O(坐標(biāo)原點(diǎn))、D依次為線段AB的四等分點(diǎn),則e=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,過焦點(diǎn)F(c,0)和點(diǎn)B(0,-b)的直線到原點(diǎn)的距離是
3
2

(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在非零實(shí)數(shù)k,使直線y=kx+2交橢圓于不同的兩點(diǎn)M、N都在以B為圓心的圓上,若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

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棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)P,集合Q={P||PA|≤1},則集合Q構(gòu)成的幾何圖形為( 。
A、圓B、四分之一圓
C、球D、八分之一球

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+y2
=1與雙曲線
x2
b2
-3y2
=1具有相同的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是兩曲線的公共點(diǎn),則∠F1PF2=
 

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