已知離心率為e的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線x2-y2=1有相同的焦點，且直線y=ex分別與橢圓相交于A、B兩點，與雙曲線相交于C、D兩點，若C、O（坐標原點）、D依次為線段AB的四等分點，則e=
 
．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：由題意，求出橢圓半焦距c=
2
，得出a2與b2的關(guān)系以及離心率e的表示，由直線y=ex與雙曲線方程聯(lián)立，求出交點坐標，
再由中點坐標公式得出直線與橢圓的交點坐標，代入橢圓方程，求出a的值，即得橢圓的離心率e．
解答： 解：∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線x2-y2=1有相同的焦點，
∴c=
2
，
∴a2-b2=2；
∴e=
c
a
=
2
a
；
又直線y=ex與雙曲線相交于C、D兩點，
∴
y=ex
x2-y2=1
，
即x2-e2x2=1，
解得x=±
1
1-e2
=±
a
a2-2
；
取x=
a
a2-2
，
則y=ex=
2
a
•
a
a2
-2
=
2
a2-2
，
∴點B（2x，2y）在橢圓上，
即
4a2
a2(a2-2)
+
8
(a2-2)(a2-2)
=1（*）；
設(shè)t=
1
a2-2
＞0，
則方程（*）化為4t+8t2=1，
解得t=
3
-1
4
，
∴a2-2=
4
3
-1
=2
3
+2，
∴a2=2
3
+4=(
3
+1)2，
解得a=
3
+1；
∴離心率為e=
c
a
=
2
3
+1
=
6
-
2
2
．
故答案為：
6
-
2
2
．
點評：本題考查了橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，是綜合題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2
x
，x≥2
(x-1)3，x＜2
，則f（-1）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

y=sin（-2x+
π
3
）經(jīng)過怎樣變換得到y(tǒng)=sin2x的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在平面直角坐標系中，圓M經(jīng)過原點O且與x軸y軸分別相交于A（-6，0），B（0，-8）兩點，若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經(jīng)過B．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式，且設(shè)拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S△PDE=
1
10
S△ABC，若存在，請求出點P的坐標；
（2）在拋物線上找點F使∠AFB為銳角，直接寫出F的橫坐標范圍；
（3）求出△ABO內(nèi)切圓的圓心坐標；
（4）求圓心在拋物線的對稱軸上，且與直線AB和x軸都相切的圓的半徑是多少？
（5）求過C、D、E三點外接圓的半徑．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知裝曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的漸近線過點(1，
3
)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點，P為雙曲線上的任意一點，且∠F1PF2=
π
3
，S△PF1F2=12
3
．
（1）求雙曲線的兩條漸近線的夾角；
（2）求雙曲線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，則異面直線AM與CN的距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC，底面ABC為邊長為2
3
的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（1）求證：DO∥面PBC；
（2）求證：AC⊥面BOD；
（3）設(shè)M為PC中點，求二面角M-BD-O的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C1：
x2
a2
-y2=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于A，B兩點．
（1）求a的取值范圍；
（2）求雙曲線離心率e的取值范圍；
（3）求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

y=log8（2x-1）-
1
3
x的值域是
 
．

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