已知橢圓的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,短軸兩個端點為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.
(I)求橢圓方程;
(II)若C,D分別是橢圓長軸的左右端點,動點M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點P.求證:為定值.
【答案】分析:(1)利用橢圓的幾何性質求出a、b的值,從而寫出標準方程.
(2)設M(2,y),寫出直線CM的方程,并把它代入橢圓的方程,可求P的坐標,進而得到向量OM、OP的坐標,
計算這2個向量坐標的數(shù)量積,得出定值.
解答:解:(1)∵左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,短軸兩個端點為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形,
∴a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2,∴橢圓方程為.(4分)
(2)C(-2,0),D(2,0),設M(2,y),P(x1,y1),

直線CM:y-0=(x-2),即 .(6分)
代入橢圓x2+2y2=4,得,故次方程的兩個根分別為-2和x1,(8分)
由韋達定理可得x1-2=,∴,∴
,(10分)
+==4 (定值).(12分)
點評:本題考查橢圓的標準方程的求法、2個向量的數(shù)量積公式的應用,及一元二次方程根與系數(shù)的關系,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年安徽省高三第一次月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓的左右焦點分別是,直線與橢圓交于兩點,.當時,M恰為橢圓的上頂點,此時△的周長為6.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設橢圓的左頂點為A,直線與直線分別相交于點,,問當

變化時,以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值?若是,求出這個定值,

若不是,說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓數(shù)學公式的左右焦點分別是F1,F(xiàn)2,過右焦點F2且斜率為k的直線與橢圓交于A,B兩點.
(1)若k=1,求|AB|的長度、△ABF1的周長;
(2)若數(shù)學公式,求k的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的左右焦點分別是,直線與橢圓交于兩點且當時,M是橢圓的上頂點,且△的周長為6.

(1)求橢圓的方程;

(2)設橢圓的左頂點為A,直線與直線:

分別相交于點,問當變化時,以線段為直徑的圓

軸截得的弦長是否為定值?若是,求出這個定值,若不是,說明理由.

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已知橢圓的左右焦點分別是,直線與橢圓交于兩點且當時,M是橢圓的上頂點,且△的周長為6.

(1)求橢圓的方程;

(2)設橢圓的左頂點為A,直線與直線:

分別相交于點,問當變化時,以線段為直徑的圓

軸截得的弦長是否為定值?若是,求出這個定值,若不是,

說明理由.

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已知橢圓的左右焦點分別是,直線與橢圓交于兩點且當時,M是橢圓的上頂點,且△的周長為6.

(1)求橢圓的方程;

(2)設橢圓的左頂點為A,直線與直線:

分別相交于點,問當變化時,以線段為直徑的圓

軸截得的弦長是否為定值?若是,求出這個定值,若不是,說明理由.

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