Question

10．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分別是棱A₁B₁，D₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與B₁不重合），且EH∥A₁D₁，過EH的動(dòng)平面與棱BB₁，CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G．設(shè)AB=2AA₁=2a，B₁E+B₁F=2a．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率的最小值為（　�。�

• A． $\frac{11}{12}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{13}{16}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的體積，利用幾何概型的概率公式即可得到該點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率的最小值．

解答 解：∵EH∥A₁D₁，過EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G．
∴FG∥EH，
即幾何體B₁FE-C₁GH是三棱柱．
由題意，B₁E+B₁F=2a≥2$\sqrt{{B}_{1}E•{B}_{1}F}$，
∴B₁E•B₁F≤a²，
當(dāng)且僅當(dāng)B₁E=B₁F=a時(shí)，取等號(hào)，三角形的面積取得最大值．
三棱柱B₁FE-C₁GH的體積最大值V=$\frac{1}{2}×a×a•{B}_{1}{C}_{1}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$•B₁C₁，
長(zhǎng)方體的體積V=2a•a•B₁C₁=2a²•B₁C₁，
則幾何體A₁ABFE-D₁DCGH的體積最小值V₁=2a²•B₁C₁-$\frac{1}{2}$a²•B₁C₁=$\frac{3}{2}$a²•B₁C₁，
則根據(jù)幾何概型的概率公式可得在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，
則該點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率的最小值P=$\frac{3}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算以及空間幾何體的體積計(jì)算，根據(jù)條件求出對(duì)應(yīng)的幾何體的體積是解決本題的關(guān)鍵．