Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，設(shè)P為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C₁到曲線C₂上點(diǎn)的距離最小時(shí)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開(kāi)化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，利用互化公式化為普通方程x+y-8=0．設(shè)與直線x+y-8=0平行且與橢圓相切的直線方程為：x+y+m=0．與橢圓方程聯(lián)立，利用相切的性質(zhì)解得m，即可得出．

解答 解：曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），消去參數(shù)化為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開(kāi)化為：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，化為x+y-8=0．
設(shè)與直線x+y-8=0平行且與橢圓相切的直線方程為：x+y+m=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+m=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化為：4x²+6mx+3m²-3=0，（*）
由△=36m²-16（3m²-3）=0，解得m=±2，
取m=-2，代入（*）可得：（2x-3）²=0，解得x=$\frac{3}{2}$，代入x+y-2=0，解得y=$\frac{1}{2}$．
∴切點(diǎn)P$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$滿足條件．
故答案為：$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、直線與橢圓相切的性質(zhì)、平行線之間的距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．