Question

9．（1）用反證法證明：已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不大于$\frac{1}{3}$
（2）用分析法證明：$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，通過反證法假設(shè)結(jié)論不成立，通過得出與已知a+b+c=1矛盾，可得結(jié)論；
（2）尋找使不等式成立的充分條件，要是不等式成立，只要證 6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，即證$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，
即證 42＞40．

解答 證明：（1）假設(shè)a、b、c都大于$\frac{1}{3}$，則a+b+c＞1，這與已知a+b+c=1矛盾．
故a、b、c中至少有一個(gè)不大于$\frac{1}{3}$…（6分）
（2）要證$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
只要證 6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，
只要證$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，
即證42＞40． 
而42＞40  顯然成立，
故原不等式成立…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法的應(yīng)用，涉及分析法證明不等式，關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，屬于中檔題．