Question

設(shè)偶函數(shù)f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ（θ為常數(shù)）且f（x）的最小值為-6．
（Ⅰ）求

cos2θ

cos(θ+ π 4 )

的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=λf（ωx）-f（ωx+

π

2

），λ＞0，ω＞0，且g（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱和點（

2π

3

，3-3λ）對稱，若g（x）在[0，

π

24

]上單調(diào)遞增，求λ和ω的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先化簡f（x），f（x）為偶函數(shù)，且f（x）的最小值為-6，求得所以sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

，從而可進一步求出

cos2θ

cos(θ+ π 4 )

的值．
（Ⅱ）先化簡g（x），再利用已知條件：g（x）它的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱和點（

2π

3

，3-3λ）對稱，求出兩個方程，解出ω，進一步解出λ的值．

解答： 解：（Ⅰ）化簡得：f（x）=5cosx+（4tanθ-3）sinx-5sinθ，
f（x）為偶函數(shù)，有4tanθ-3=0，得tanθ=

3

4

，故sinθ=±

3

5

，
f（x）=5cosxsinθ-5sinθ=5sinθ（cosx-1）．
-2≤cosx-1≤0，f（x）最小值-6，所以sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

．
所以，

cos2θ

cos(θ+ π 4 )

=

cosθ2-sin2θ

2 2 cosθ- 2 2 sinθ

=

2

（cosθ+sinθ）=

7 2

5

．
（Ⅱ）g（x）=λf（ωx）-f（ωx+

π

2

）
=5λsinθ（cosωx-1）-5sinθ（cos（ωx+

π

2

）-1）．
=3（λcosωx+sinωx）+3-3λ，
=3

1+λ2

sin（ωx+φ）+3-3λ，
g（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱和點（

2π

3

，3-3λ）對稱，

π 6 ω+∅= π 2 +kπ 2π 3 ω+∅=π+kπ

k∈z，兩式相減可解得ω=1．
若g（x）在[0，

π

24

]上單調(diào)遞增，g（x）的圖象關(guān)于點（

2π

3

，3-3λ）對稱，有
g（x）=3（λcosωx+sinωx）+3-3λ=3（λcosx+sinx）+3-3λ=3（λcos

2π

3

+sin

2π

3

）+3-3λ=3-3λ．
所以有-

3

2

λ+

3 3

2

+3-3λ=3+3λ，解得：λ=

3

．
故答案為：λ=

3

，ω=1．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的基本性質(zhì)，正確利用三角函數(shù)的對稱性，是解決本題的前提．考查計算能力．屬于難題．