Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和，，
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，是否存在正整數(shù),使得對(duì)恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）①，，  ，。
（2）存在正整數(shù)3，使得對(duì)恒成立。

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，特別是問(wèn)題（2）的設(shè)置有新意，關(guān)鍵是恒等式的解題方法（對(duì)應(yīng)系數(shù)相等）是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．
（1）根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系可知
①時(shí)，；；綜上，，
②由，，（）兩式相減得
即，；由得，
∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，得到結(jié)論。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823232755716796.png" style="vertical-align:middle;" />，那么利用定義判定單調(diào)性，進(jìn)而得到最值。
解：（1）①時(shí)，；；綜上，，
②由，，（）兩式相減得
即，；由得，
∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，。
（2），
∴時(shí)，， ，即；
時(shí)，，，即
∴的最大項(xiàng)為，即存在正整數(shù)3，使得對(duì)恒成立。