Question

4．P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°．
（1）求△F₁PF₂的面積；
（2）求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)余弦定理求得丨PF₁丨•丨PF₂丨，則由三角形面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨•丨PF₂丨sin60°，即可求得△F₁PF₂的面積；
（2）由焦點(diǎn)三角形的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$×2c×丨y丨=4丨y丨，由（1）可知4丨y丨=3$\sqrt{3}$，即可求得y的值，代入橢圓方程，即可求得x的值，求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1可知焦點(diǎn)在x軸上，a=5，b=3，c=$\sqrt{25-9}$=4，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為：F₁（-，4，0），F(xiàn)₂（4，0），
設(shè)丨PF₁丨=m，丨PF₂丨=n，則m+n=2a=10，
由余弦定理可知：m²+n²-2mncos60°=（2c）²，
∴（m+n）²-2mn-2mncos60°=2c²，即100-2mn-mn=64，
則mn=12，
△F₁PF₂的面積S，S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴△F₁PF₂的面積3$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)P（x，y），由△F₁PF₂的面積S，S=$\frac{1}{2}$×2c×丨y丨=4丨y丨，
∴4丨y丨=3$\sqrt{3}$，
則丨y丨=$\frac{4\sqrt{3}}{4}$，y=±$\frac{4\sqrt{3}}{4}$，將y=±$\frac{4\sqrt{3}}{4}$帶入橢圓方程解得x=±$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，
∴這樣的P點(diǎn)有四個(gè)，P點(diǎn)的坐標(biāo)（$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，$\frac{4\sqrt{3}}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，$\frac{4\sqrt{3}}{4}$），
（$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，-$\frac{4\sqrt{3}}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，-$\frac{4\sqrt{3}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查余弦定理及焦點(diǎn)三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．