【題目】設函數(shù),,其中,是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;
(2)若,,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,,,,且線段的中點為,證明:.
【答案】(1);;(2)見解析.
【解析】
(1)求導,依題意,導函數(shù)滿足在上有兩個不等實根,轉化可得,構造函數(shù),利用導數(shù)可知,且由的趨近性可求得實數(shù)的取值范圍;
(2)問題轉化為證明,通過換元令,即證,再分別證明即可.
(1)由題意可知,,令,
則在上存在兩個極值點等價于在上有兩個不等實根,
由可得,
令,則,
令,則,
當時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,
當時,,,單調(diào)遞增,
當時,,,單調(diào)遞減,
是的極大值也是最大值,
,
,
又當時,,當時,大于0且趨向于0,
要使在有兩個根,則;
(2)由題意可得,,
要證(1)成立,
只需證,即,
設,即證,
要證,只需證,
令,則,
在上為增函數(shù),
,即成立;
要證,只需證,
令,則,
在上為減函數(shù),
,即成立;
成立,
即成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2020年3月12日,國務院新聞辦公室發(fā)布會重點介紹了改革開放40年,特別是黨的十八大以來我國脫貧攻堅、精準扶貧取得的顯著成績,這些成績?yōu)槿婷撠毘醪浇ǔ尚】瞪鐣於藞詫嵉幕A.下圖是統(tǒng)計局公布的2010年~2019年年底的貧困人口和貧困發(fā)生率統(tǒng)計表.則下面結論正確的是( )
(年底貧困人口的線性回歸方程為(其中年份-2019),貧困發(fā)生率的線性回歸方程為(其中年份-2009))
A.2010年~2019年十年間脫貧人口逐年減少,貧困發(fā)生率逐年下降
B.2012年~2019年連續(xù)八年每年減貧超過1000萬,且2019年貧困發(fā)生率最低
C.2010年~2019年十年間超過1.65億人脫貧,其中2015年貧困發(fā)生率低于6%
D.根據(jù)圖中趨勢線可以預測,到2020年底我國將實現(xiàn)全面脫貧
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,四點,,,中恰有三個點在橢圓C上,左、右焦點分別為F1、F2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過左焦點F1且不平行坐標軸的直線l交橢圓于P、Q兩點,若PQ的中點為N,O為原點,直線ON交直線x=﹣3于點M,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù),,其中,是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;
(2)若,,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,,且線段的中點為,證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】法國數(shù)學家龐加是個喜歡吃面包的人,他每天都會購買一個面包,面包師聲稱自己出售的每個面包的平均質(zhì)量是1000,上下浮動不超過50.這句話用數(shù)學語言來表達就是:每個面包的質(zhì)量服從期望為1000,標準差為50的正態(tài)分布.
(1)假設面包師的說法是真實的,從面包師出售的面包中任取兩個,記取出的兩個面包中質(zhì)量大于1000的個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;
(2)作為一個善于思考的數(shù)學家,龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄,25天后,得到數(shù)據(jù)如下表,經(jīng)計算25個面包總質(zhì)量為24468.龐加萊購買的25個面包質(zhì)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位:)
981 | 972 | 966 | 992 | 1010 | 1008 | 954 | 952 | 969 | 978 |
989 | 1001 | 1006 | 957 | 952 | 969 | 981 | 984 | 952 | 959 |
987 | 1006 | 1000 | 977 | 966 |
盡管上述數(shù)據(jù)都落在上,但龐加菜還是認為面包師撒謊,根據(jù)所附信息,從概率角度說明理由
附:
①若,從X的取值中隨機抽取25個數(shù)據(jù),記這25個數(shù)據(jù)的平均值為Y,則由統(tǒng)計學知識可知:隨機變量
②若,則,,;
③通常把發(fā)生概率在0.05以下的事件稱為小概率事件.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的方程為,定點,點是曲線上的動點, 為的中點.
(1)求點的軌跡的直角坐標方程;
(2)已知直線與軸的交點為,與曲線的交點為,若的中點為,求的長.
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