Question

13．正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，在此棱柱內(nèi)放入一個(gè)半徑為1的小球，當(dāng)小球在棱柱內(nèi)部自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，則在棱柱內(nèi)部小球所不能到達(dá)的空間的體積為24-$\frac{7π}{3}$．

Answer 1

分析 小球在盒子不能到達(dá)的空間要分以下幾種情況，在正四棱柱頂點(diǎn)處的小正方體中，其體積等于小正方體體積減球的體積，在以正四棱柱的棱為一條棱的4個(gè)四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間共為4×[2×2×1-（$\frac{1}{4}$×π×1²×1）]=16-π，其他空間小球均能到達(dá)，綜合后即可得到結(jié)果．

解答 解：在正四棱柱的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間為：8（1-$\frac{1}{8}×\frac{4}{3}×π×{1}^{3}$）=8-$\frac{4}{3}$π，
除此之外，在以正四棱柱的棱為一條棱的4個(gè)四棱柱空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間共為4×[2×2×1-（$\frac{1}{4}$×π×1²×1）]=16-π．
其他空間小球均能到達(dá)．
故小球不能到達(dá)的空間體積為：8-$\frac{4}{3}$π+16-π=24-$\frac{7π}{3}$．
故答案為：24-$\frac{7π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球的體積，棱柱的體積，其中熟練掌握棱柱和不規(guī)則幾何題的結(jié)構(gòu)特征，建立良好的空間想象能力是解答本題的關(guān)鍵．