Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知橢圓上存在點(diǎn)，使，且這樣的點(diǎn)有且只有兩個(gè).

（1）求橢圓的離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有且只有兩個(gè),則點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn),則根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解即可；

（2）設(shè)直線,橢圓的方程為,二者聯(lián)立可得,且,根據(jù)韋達(dá)定理可得,由可得,即,代入中,再利用均值定理求解可得,代回求得點(diǎn),進(jìn)而求得即可.

解:（1）由題,根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有且只有兩個(gè),

則點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn),

則離心率

（2）易知直線不與軸重合,設(shè),,,

由（1）,因?yàn)?/span>,所以,所以設(shè)橢圓的方程為,

聯(lián)立,消去可得,

則,即①

所以②

因?yàn)?/span>,所以,

代入②式可得,

所以,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),的面積有最大值,

不妨令,則,,代入,可得,滿(mǎn)足①式,

故橢圓的方程為.