Question

12．設(shè)f（x）為偶函數(shù)，在[0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（2x）=f（$\frac{x+1}{x+4}$）的所有x之和為（　�。�

• A． 8
• B． 9
• C． -8
• D． -9

Answer 1

分析 f（x）為偶函數(shù)推出f（-x）=f（x），x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，推出f（x）不是周期函數(shù)．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；

解答 解：∵f（x）為偶函數(shù)，
∴（2x）=f（-2x）
∵當(dāng)x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
又滿足f（2x）=f（$\frac{x+1}{x+4}$），
∴2x=$\frac{x+1}{x+4}$，或-2x=$\frac{x+1}{x+4}$，
可得，2x²+7x-1=0或2x²+9x+1=0，兩個(gè)方程都有解．
∴x₁+x₂=$-\frac{7}{2}$或x₃+x₄=-$\frac{9}{2}$，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-8，
故選C

點(diǎn)評(píng) 本題主要函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性與方程根的聯(lián)系，屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．