Question

1．點(diǎn)M，N是拋物線E上的兩動點(diǎn)，M到點(diǎn)（2，0）的距離比到直線x+3=0的距離少1，點(diǎn)O（M，N與O不重合）是坐標(biāo)原點(diǎn)，OM⊥ON．
（Ⅰ）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在定點(diǎn)總在直線MN上，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）判斷E是以點(diǎn)（2，0）為焦點(diǎn)，以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，求出拋物線方程即可．
（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+n，與x軸的交點(diǎn)為（n，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線的方程組，通過韋達(dá)定理以及x₁x₂+y₁y₂=0，求出n，然后判斷直線MN的方程為x=my+8，過定點(diǎn)（8，0）即可．

解答 解：（1）由題可得，E是以點(diǎn)（2，0）為焦點(diǎn)，以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是：y²=8x；…（4分）
（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+n，與x軸的交點(diǎn)為（n，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=my+n}\end{array}\right.$，可得y²=8my+8n，即y²-8my-8n=0；…（6分）
又由OM⊥ON得：x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{64}$，y₁y₂=-8n，
∴$\frac{64{n}^{2}}{64}-8n=0$解得n=8，n=0（舍去），…（10分）
∴直線MN的方程為x=my+8，過定點(diǎn)（8，0），
即得在x軸上存在定點(diǎn)滿足條件，其坐標(biāo)是（8，0）…（12分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．