Question

11．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+2sin²θ）=12，且曲線C的左焦點F在直線l上．
（I）求實數(shù)m和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，左焦點為F（-2$\sqrt{2}$，0），代入直線l得m；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入橢圓方程得t²-2t-2=0，即可求$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$的值．

解答 解：（I） 因為曲線C：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，左焦點為F（-2$\sqrt{2}$，0），代入直線l得m=-2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入橢圓方程得t²-2t-2=0，
則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{4+8}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查參數(shù)幾何意義的運用，屬于中檔題．