Question

1．如圖所示，正方形BCDE的邊長為a，已知$AB=\sqrt{3}BC$，將△ABE沿BE邊折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，則翻折后的幾何體中有如下描述：
①AB與DE所成角的正切值為$\sqrt{2}$；
②AB∥CE；
③${V_{B-ACE}}=\frac{1}{12}{a^3}$；
④平面ABC⊥平面ADC．其中正確的命題序號為①④．

Answer 1

分析 在①中，由BC∥DE，知∠ABC（或其補角）為AB與DE所成角，由此能求出AB與DE所成角的正切值為$\sqrt{2}$；在②中，由翻折后的圖形知AB與CE是異面直線；在③中，V_B-ACE=$\frac{1}{6}{a}^{3}$；在④中，由AD⊥平面BCDE，知AD⊥BC，又BC⊥CD，由此推導出平面ABC⊥平面ADC．

解答 解：∵正方形BCDE的邊長為a，已知$AB=\sqrt{3}BC$，將△ABE沿BE邊折起，
折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，
∴$AB=\sqrt{3}BC$=$\sqrt{3}a$，AE=$\sqrt{2}a$，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=$\sqrt{2}a$，
在①中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其補角）為AB與DE所成角，
∵AB=$\sqrt{3}a$，BC=a，AC=$\sqrt{2}a$，∴BC⊥AC，
∴tan∠ABC=$\sqrt{2}$，∴AB與DE所成角的正切值為$\sqrt{2}$，故①正確；
在②中，由翻折后的圖形知AB與CE是異面直線，故②錯誤；
在③中，${V}_{B_ACE}=\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{3}$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$，故③錯誤；
在④中，∵AD⊥平面BCDE，BC?平面ABC，
∴AD⊥BC，又BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC?平面ADC，又BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC，故④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．