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4.已知θ∈[0,\frac{π}{2}}],直線xsinθ+ycosθ-1=0和圓C:(x-1)2+(y-cosθ)2=14相交所得的弦長為32,則θ=π6

分析 求出圓心和半徑,以及圓心到直線的距離,根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進(jìn)行求解即可.

解答 解:圓的半徑為R=12,圓心C(1,cosθ),
則圓心到直線的距離d=|sinθ+cos2θ1|sin2θ+cos2θ=|sinθ+cos2θ-1|=|sinθ-sin2θ|,
∵直線xsinθ+ycosθ-1=0和圓C:(x-1)2+(y-cosθ)2=14相交所得的弦長為32,
等比數(shù)列R2=d2+(12×322
14=(sinθ-sin2θ)2+316,
即(sinθ-sin2θ)2=14-316=116
∵θ∈[0,\frac{π}{2}}],
∴sinθ-sin2θ=14,
即sin2θ-sinθ=14
則(sinθ-122=0,
則sinθ=12,
則θ=π6,
故答案為:π6

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的位置關(guān)系的應(yīng)用,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及相交弦長公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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