Question

3．直角三角形△ABC中，若∠ACB=90°，AC=3，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{BE}$，則 $\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CA}$=3．

Answer 1

分析 如圖所示，設B（0，a），利用向量的線性運算和數量積運算即可得出．

解答 解：建立如圖所示的坐標系，則由題意可得A（3，0），C（0，0），設B（0，a）．
又∵$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{\overrightarrow{AB}}{3}$=（2，$\frac{a}{3}$）；
∵$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{BE}$，∴$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{4}{3}•\overrightarrow{AB}$=（-1，$\frac{4a}{3}$），
∴$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{CE}$）=（3，0）•（1，$\frac{5a}{3}$）=3，
故答案為：3．

點評 本題考查了向量的線性運算和數量積運算，考查了計算能力，屬于基礎題．