Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓 上任意一點(diǎn)，且的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

試題分析：（1）由于（定值）這個(gè)條件并結(jié)合余弦定理以及的最小值為這個(gè)條件可以求出的值，并由已知條件中的值可以求出，并最終求出橢圓的方程；（2）先設(shè)出、、、中其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)這四點(diǎn)之間的相互對(duì)稱(chēng)性將四邊形的面積用該點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行表示，結(jié)合這一條件將面積轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的求最值的思想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對(duì)應(yīng)的值.
試題解析：（1）因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，所以.
在△中，，由余弦定理得
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240215393871452.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021539418370.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021538935639.png" style="vertical-align:middle;" />的最小值為，所以，解得.
又，所以.所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，則矩形ABCD的面積.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021539262772.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021540027601.png" style="vertical-align:middle;" />且，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值24.
此時(shí)，.
所以當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.