Question

已知函數(shù)f（x）=-x+

1

x

（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在（0，∞）是減函數(shù)；
（3）若f（3^2a+1）＜f（（

1

3

）^4-a），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先判斷函數(shù)f（x）的定義是否關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而利用定義，可得函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）0＜x₁＜x₂，求出f（x₁）-f（x₂），并判斷符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到函數(shù)f（x）在（0，∞）是減函數(shù)；
（3）若f（3^2a+1）＜f（（

1

3

）^4-a），結(jié)合（2）中結(jié)論和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x+

1

x

的定義域為{x|x≠0}，
∴定義域關(guān)于原點對稱
又∵f(-x)=-(-x)+(

1

-x

)=x-

1

x

=-(-x+

1

x

)=-f(x)
∴f（x）是奇函數(shù)…..（2分）
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(-x1+

1

x1

)-(-x2+

1

x2

)=x2-x1+

1

x1

-

1

x2

=

x1x2(x2-x1)

x1x2

+

x2-x1

x1x2

=

(x1x2+1)(x2-x1)

x1x2

∵x₁•x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，∞）是減函數(shù)…（7分）
（3）由（1）知f（x）在（0，∞）是減函數(shù)且3^2a+1＞0，（

1

3

）^4-a＞0，
∴f（3^2a+1）＜f（（

1

3

）^4-a）可化為：3^2a+1＞（

1

3

）^4-a
即3^2a+1＞3^a-4，
即2a+1＞a-4，
解得a＞5，
所以實數(shù)a的取值范圍為a＞5…..（13分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．