Question

15．如圖，在多面體ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F(xiàn)為BC的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AF⊥BC，從而AF⊥DC，進而AF⊥面BCD，由此能證明AF⊥BD．
（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BE-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中，
∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF?底面ABC，
∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC?面BCD，
∴AF⊥面BCD，又BD?面BCD，∴AF⊥BD．…（4分）
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AE為z軸，建立空間直角坐標系如圖，
∴B（2，0，0），D（0，2，2），E（0，0，1），
$\overrightarrow{BE}=（-2，0，1）$，$\overrightarrow{ED}=（0，2，1）$，
設面BED的一個法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=2y+z=0}\end{array}\right.$，令z=2得x=1，y=-1，∴$\overrightarrow m=（1，-1，2）$，
又面ABE的一個法向量為$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}}\right＞=\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}}}{{\left|{\overrightarrow m}\right|•\left|{\overrightarrow{AC}}\right|}}=\frac{-2}{{\sqrt{6}•2}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∵二面角A-BE-D的平面角是銳角，
∴二面角A-BE-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…（12分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．