Question

10．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）若AE=2-$\sqrt{3}$，求二面角D₁-EC-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明D₁E⊥A₁D．
（2）求出平面D₁CE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角D₁-EC-D的大�。�

解答 證明：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE=t（0≤t≤2），則D₁（0，0，1），E（1，t，0），A₁（1，0，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{{{D}_{1}}^{\;}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-1+0+1=0，
∴$\overrightarrow{{D}_{1}A}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，
∴D₁E⊥A₁D．
解：（2）∵AE=2-$\sqrt{3}$，∴E（1，2-$\sqrt{3}$，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{CE}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，1），
設(shè)平面D₁CE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
又平面DEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角D₁-EC-D的平面角為θ，
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{9+3+12}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°，
∴二面角D₁-EC-D的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．