Question

7．在銳角△ABC中，角A，B，C分別對(duì)應(yīng)邊a，b，c，且a=2bsin A，則cos A-sin C的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，由sinA≠0，可得sinB，進(jìn)而可求B，利用三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得cos A-sin C=sin（$\frac{π}{6}$-A），結(jié)合A的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：在銳角△ABC中，∵a=2bsin A，
∴由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，由sinA≠0，可得：sinB=$\frac{1}{2}$，
∵B為銳角，可得：B=$\frac{π}{6}$，
∴cos A-sin C=cosA-sin（π-A-B）=cosA-sin（$\frac{5π}{6}$-A）=$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sin（$\frac{π}{6}$-A），
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：$\frac{π}{6}$-A∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），
∴利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：sin（$\frac{π}{6}$-A）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴cos A-sin C=sin（$\frac{π}{6}$-A）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．