Question

5．函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示，求：
（1）f（x）的表達(dá)式．
（2）f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）f（x）的最小值以及取得最小值時(shí)的x集合．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的增區(qū)間．
（3）利用正弦函數(shù)的最值，求得f（x）的最小值以及取得最小值時(shí)的x集合．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象，
可得A=2，$\frac{3}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{12}$，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）令2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+-$\frac{π}{3}$，可得當(dāng)x=kπ+-$\frac{π}{3}$，k∈Z 時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2．
即f（x）的最小值為-2，取得最小值時(shí)的x集合為{x|x=kπ+-$\frac{π}{3}$，k∈Z }．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值；還考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．