Question

13．下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是④⑤
①2+i＞1+i
②若一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，則其虛部不存在
③虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是純虛數(shù)
④設(shè)z=1-i（i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)$\frac{2}{z}+{z^2}$在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為$\overrightarrow{OZ}$，則向量$\overrightarrow{OZ}$的模是$\sqrt{2}$
⑤若$z=\frac{1}{i}$，則z⁵+1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第四象限．

Answer 1

分析 ①利用虛數(shù)不能比較大小，可判斷①的正誤；
②由實(shí)數(shù)的虛部為0可判斷②的正誤；
③利用虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)除原點(diǎn)外都是純虛數(shù)，可判斷③的正誤；
④設(shè)z=1-i（i為虛數(shù)單位），化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)$\overrightarrow{OZ}$=$\frac{2}{z}+{z^2}$=1-i，其模|$\overrightarrow{OZ}$|=$\sqrt{2}$，可判斷④的正誤；
⑤由$z=\frac{1}{i}$，可得z⁵+1=1-i，可判斷⑤的正誤．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)復(fù)數(shù)不是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小，2+i與1+i為虛數(shù)，不能比較大小，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，則其虛部為0，并非不存在，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)并非都是純虛數(shù)，虛軸上原點(diǎn)表示的數(shù)是實(shí)數(shù)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，設(shè)z=1-i（i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)$\frac{2}{z}+{z^2}$在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為$\overrightarrow{OZ}$，則向量$\overrightarrow{OZ}$=$\frac{2}{1-i}$+（1-i）²=1+i-2i=1-i，所以|$\overrightarrow{OZ}$|=$\sqrt{2}$，故④正確；
對(duì)于⑤，若$z=\frac{1}{i}$，則z⁵+1=$\frac{1}{{i}^{5}}$+1=$\frac{1}{i}$+1=1-i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，-1），在復(fù)平面內(nèi)的第四象限．故⑤正確．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，屬于中檔題．