Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作B₁B₂⊥x軸交雙曲線于B₁、B₂兩點，B₂與左焦點F₁連線交雙曲線于B點，連結(jié)B₁B交x軸于H，求證：H的橫坐標為定值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：將直線BB₁：x=c，代入雙曲線方程得，y=±

b2

a

，即有B₁（c，

b2

a

），B₂（c，-

b2

a

），求出直線B₂F₁：y=-

b2

2ac

（x+c），與雙曲線的交點B的坐標，再由斜率公式，求出直線BB₁的斜率，寫出直線方程，再令y=0，即可得到定值．

解答： 證明：由于F（c，0），F(xiàn)₁（-C，0），
則直線BB₁：x=c，代入雙曲線方程得，y=±

b2

a

，
即有B₁（c，

b2

a

），B₂（c，-

b2

a

），
直線B₂F₁：y=-

b2

2ac

（x+c），與雙曲線的交點B的坐標滿足，

y=- b2 2ac (x+c) x2 a2 - y2 b2 =1

，解得B（

3cb2-4c3

4c2-b2

，

-b4

a(4c2-b2)

），
直線BB₁的斜率為k_BB1=

b2 a + b4 a(4c2-b2)

c- 3cb2-4c3 4c2-b2

=

b2c

a(2c2-b2)

，
直線BB₁：y=k_BB1（x-c）+

b2

a

，
令y=0，則x=c-

b2

a

•

1

kBB1

=-

a2

c

，
故H的橫坐標為定值，且為-

a2

c

．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立雙曲線方程和直線方程，解得交點，考查直線的斜率和直線方程的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題和易錯題．