Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²．
（I）若f（x）在x=1處有極值10，求a，b的值；
（II）若當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程組，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為b＜$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$在x∈[1，2]恒成立，令g（x）=$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．

解答 解：（I）f'（x）=3x²+2ax+b，由題設(shè)有f'（1）=0，f（1）=10，
即$\left\{\begin{array}{l}3+2a+b=0\\ 1+a+b+{a^2}=10\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-11\end{array}\right.$，
經(jīng)驗(yàn)證，若$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=3\end{array}\right.$，則f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²，
當(dāng)x＞1或x＜1時(shí)，均有f'（x）＞0，可知
此時(shí)x=1不是f（x）的極值點(diǎn)，
故$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=3\end{array}\right.$舍去$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-11\end{array}\right.$符合題意，
故$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-11\end{array}\right.$．
（II）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x³-x²+bx+l，
若f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，
即x³-x²+bx+1＜0在x∈[1，2]恒成立，
即b＜$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$在x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$，
則g'（x）=$\frac{{（-3{x^2}+2x）x-（-{x^3}+{x^2}-1）}}{x^2}$=$\frac{{-2{x^3}+{x^2}+1}}{x^2}$，
由-2x³+x²+1=1-x³+x²（1-x） 可知x∈[1，2]時(shí)g'（x）＜0，
即g（x）=$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$在x∈[1，2]單調(diào)遞減，
g（x）_max=g（2）=-$\frac{5}{2}$，
∴b＜-$\frac{5}{2}$時(shí)，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．