Question

3．如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BN}$，則λ+μ的值為（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{5}{8}$
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則和向量的數(shù)乘運算即可求出

解答 解：∵$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{DC}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AM}$-$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BN}$
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BN}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AM}$-$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BN}$=$\frac{6}{5}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BN}$，
∵$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BN}$，
∴λ=$\frac{6}{5}$，μ=$\frac{2}{5}$，
∴λ+μ=$\frac{8}{5}$，
故選：A

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則和三角形法則和向量的數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題