Question

如圖所示,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥EC,且EC=AC=2BD,M是AE的中點(diǎn).

求證：（1）DE=AD；

（2）平面BDM⊥平面ECA.

Answer 1

思路點(diǎn)撥：（1）要證明DE=AD,只需要證明Rt△DFE≌Rt△ABD;（2）注意點(diǎn)M為EA的中點(diǎn),可取AC的中點(diǎn)N,先證明點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)，再證明平面BDM經(jīng)過平面ECA的一條垂線即可.

證明：（1）取EC的中點(diǎn)F,連結(jié)DF.

∵EC⊥BC,易知DF∥BC,∴DF⊥EC.

在Rt△DFE和Rt△ABD中,FE=EC=BD,DF=BC=AB,∴Rt△DFE≌Rt△ABD.故DE=AD.

（2）取AC的中點(diǎn)N,連結(jié)MN、BN,則MN∥EC，MN=EC.

∴MN∥BD，即點(diǎn)N在平面BDM內(nèi).

又EC⊥平面ABC，

∴EC⊥BN.

又AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.

又∵平面BDM經(jīng)過BN,

∴平面BDM⊥平面ECA.

［一通百通］ 有關(guān)面面垂直的判定問題，通常情況下可以根據(jù)面面垂直的判定定理來考慮，將問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，從而將問題證明.