【題目】如圖已知橢圓C: +y2=1,以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0).設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.
(1)求 的最小值;
(2)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:丨OR丨丨OS丨為定值.

【答案】
(1)解:依題意,得a=2,b=1,c= = ,T(﹣2,0).

點M與點N關(guān)于x軸對稱,

設(shè)M(x1,y1),N(x1,﹣y1),不妨設(shè)y1>0.

由于點M在橢圓C上,∴ =1﹣ ,(*)

=(x1+2,y1), =(x1+2,﹣y1),

=(x1+2)2

= =

由于﹣2<x1<2,

故當 時, 取得最小值為﹣


(2)證明:設(shè)P(x0,y0),

則直線MP的方程為:y﹣y0= (x﹣x0),

令y=0,得xR= ,

同理:xS= ,

故xRxS= ,(**)

又點M與點P在橢圓上,故 , =4 ,

代入(**)式,得:xRxS= = =4.

∴丨OR丨丨OS丨=|xRxS|=4為定值


【解析】(1)T(﹣2,0).點M與點N關(guān)于x軸對稱,設(shè)M(x11),N(x1 , ﹣y1),不妨設(shè)y1>0.由于點M在橢圓C上, =1﹣ ,可得 = ,由于﹣2<x1<2,可得 取得最小值.(2)設(shè)P(x0 , y0),則直線MP的方程為:y﹣y0= (x﹣x0),令y=0,得xR= ,同理:xS= ,xRxS= ,又點M與點P在橢圓上,故 , =4 ,代入丨OR丨丨OS丨=|xRxS|,化簡即可證明.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】函數(shù).

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【題目】對于無窮數(shù)列,記,若數(shù)列滿足:“存在,使得只要),必有”,則稱數(shù)列具有性質(zhì).

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(Ⅲ)已知是各項為正整數(shù)的數(shù)列,且既具有性質(zhì),又具有性質(zhì),求證:存在整數(shù),使得是等差數(shù)列.

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