Question

1．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\\ y≤-nx+3n\end{array}$所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n（n∈N^*），（整點(diǎn)即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且T_n=$\frac{S_n}{{3•{2^{n-1}}}}$，若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0知0＜x＜3，易知x=1，或x=2，即可求出a₁，a₂，a₃
（2）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0知0＜x＜3，易知x=1，或x=2，D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1和x=2上，從而可證數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=3n（n∈N^*）．
（2）易求S_n，T_n，T_n+1-T_n，經(jīng)分析知T₂，T₃是數(shù)列{T_n}中的最大項(xiàng)，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）a₁=3，a₂=6，a₃=9．
（2）由x＞0，-nx+3n≥y＞0，得0＜x＜3，
∴x=1或x=2．
∴D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1和x=2上．
記直線y=-nx+3n為l，l與直線x=1，x=2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，
則y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n，
∴a_n=3n；
（3）∵${S_n}=3（1+2+3+…+n）=\frac{3n（n+1）}{2}$．
∴${T_n}=\frac{n（n+1）}{2^n}$，
∵${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}-\frac{n（n+1）}{2^n}=\frac{（n+1）（2-n）}{{{2^{n+1}}}}$，
∴$當(dāng)n≥3時(shí)，{T_n}＞{T_{n+1}}，且{T_1}=1＜{T_2}={T_3}=\frac{3}{2}，故{T_2}，{T_3}是最大項(xiàng)$．
$故m≥\frac{3}{2}為所求$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的確定，考查數(shù)列單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，屬于難題．