Question

15．在直角坐標(biāo)系中，曲線C₁：x²+y²=1經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{3}x}\\{y′=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂．
（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)A，B是曲線C₂上不同的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求$\frac{1}{O{A}^{2}}$$+\frac{1}{O{B}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{3}x}\\{y′=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{\sqrt{3}}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{\sqrt{2}}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線C₁的方程可得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲線C₂的極坐標(biāo)方程．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{2}$，由OA⊥OB，不妨設(shè)A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：（1）由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{3}x}\\{y′=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{\sqrt{3}}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{\sqrt{2}}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線C₁的方程可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{3}$+$\frac{（{y}^{′}）^{2}}{2}$=1，
即曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得：曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²$（\frac{co{s}^{2}θ}{3}+\frac{si{n}^{2}θ}{2}）$=1．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{2}$，
∵OA⊥OB，不妨設(shè)A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，
∴$\frac{1}{O{A}^{2}}$$+\frac{1}{O{B}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{2}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{3}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{2}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化及其應(yīng)用、坐標(biāo)變換、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．