Question

12．如圖，曲線Г由曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，y≤0）和曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，y＞0）組成，其中點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為曲線C₁所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F₃，F(xiàn)₄為曲線C₂所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，
（1）若F₂（2，0），F(xiàn)₃（-6，0），求曲線Г的方程；
（2）如圖，作直線l平行于曲線C₂的漸近線，交曲線C₁于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線C₂的另一條漸近線上；
（3）對于（Ⅰ）中的曲線Г，若直線l₁過點(diǎn)F₄交曲線C₁于點(diǎn)C、D，求△CDF₁面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由F₂（2，0），F(xiàn)₃（-6，0），可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=36}\\{{a}^{2}-^{2}=4}\end{array}\right.$，解出即可；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），設(shè)直線l：y=$\frac{a}$（x-m），與橢圓方程聯(lián)立化為2x²-2mx+（m²-a²）=0，利用△＞0，根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，證明即可．
（3）由（1）知，曲線$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y≤0）F₄（6，0）．設(shè)直線l₁的方程為x=ny+6（n＞0）．與橢圓方程聯(lián)立可得（5+4n²）y²+48ny+64=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）解：∵F₂（2，0），F(xiàn)₃（-6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=36}\\{{a}^{2}-^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=20}\\{^{2}=16}\end{array}\right.$，
則曲線Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y≤0）和$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y＞0）．
（2）證明：曲線C₂的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)直線l：y=$\frac{a}$（x-m），代入C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，化為2x²-2mx+（m²-a²）=0，
△=4m²-8（m²-a²）＞0，
解得-$\sqrt{2}$a＜m＜$\sqrt{2}$a．
又由數(shù)形結(jié)合知a≤m＜$\sqrt{2}$a．
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{2}$，
∴x₀=$\frac{m}{2}$，y₀=-$\frac{bm}{2a}$，
∴y₀=-$\frac{a}$x₀，即點(diǎn)M在直線y=-$\frac{a}$x上．
（3）由（1）知，曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y≤0），點(diǎn)F₄（6，0）．
設(shè)直線l₁的方程為x=ny+6（n＞0）．
聯(lián)立化為（5+4n²）y²+48ny+64=0，
△=（48n）²-4×64×（5+4n²）＞0，化為n²＞1．
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∴y₃+y₄=-$\frac{48n}{5+4{n}^{2}}$，y₃y₄=$\frac{64}{5+4{n}^{2}}$．
∴|y₃-y₄|=$\frac{16\sqrt{5}•\sqrt{{n}^{2}-1}}{5+4{n}^{2}}$，
△CDF₁面積S=$\frac{1}{2}×8×$$\frac{16\sqrt{5}•\sqrt{{n}^{2}-1}}{5+4{n}^{2}}$，
令t=$\sqrt{{n}^{2}-1}$＞0，∴n²=t²+1，
∴S=$\frac{64\sqrt{5}}{4t+\frac{9}{t}}$≤$\frac{16\sqrt{5}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{3}{2}$，即n=$\frac{\sqrt{13}}{2}$時等號成立，△CDF₁面積的最大值為$\frac{16\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．