Question

14．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\sqrt{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ
（I）寫出C₁和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在曲線C₂上，且點(diǎn)P到直線C₁的距離為1，求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\sqrt{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程；曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（II）圓心（2，0）到直線的距離d=1，因此經(jīng)過圓心與直線C₁平行的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)滿足條件，另外與直線C₁平行與圓相切的其中與直線C₁在圓心同一側(cè)的切線滿足條件．分別求出直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（I）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\sqrt{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t可得x-$\sqrt{3}$y-4=0．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x，配方為（x-2）²+y²=4．
（II）圓心（2，0）到直線的距離d=$\frac{|2-4|}{2}$=1，
因此經(jīng)過圓心與直線C₁平行的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)滿足條件，
另外與直線C₁平行與圓相切的其中與直線C₁在圓心同一側(cè)的切線滿足條件．
經(jīng)過圓心與直線C₁平行的直線方程為：y=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-2），
滿足條件的切線方程為：x-$\sqrt{3}$y-6=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y-2=0}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{3}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
可得直角坐標(biāo)：P$（2+\sqrt{3}，1）$，$（2-\sqrt{3}，-1）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y-6=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
可得直角坐標(biāo)P$（3，-\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．