Question

3．己知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）共焦點F₂，拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF₂|-1，且橢圓與拋物線的交點Q滿足|QF₂|=$\frac{5}{2}$．
（I）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（II）過拋物線上的點P作拋物線的切線y=kx+m交橢圓于A，B兩點，設線段AB的中點為C（x₀，y₀），求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF₂|-1，通過拋物線的定義，轉化解得p=2，得到拋物線的方程，通過橢圓的右焦點F₂（1，0），左焦點F₁（-1，0），由|QF₂|=$\frac{5}{2}$，解得Q（$\frac{3}{2}$，$±\sqrt{6}$）利用橢圓的定義求出a，b．求解橢圓的方程．
（II）顯然k≠0，m≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去x，推出km=1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$消去y，推出9k²-m²+8＞0，求出0＜m²＜9，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），結合韋達定理求解x₀的取值范圍．

解答 解：（I）∵拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF₂|-1，
∴點M到直線x=-1的距離等于點M到焦點F₂的距離，----------------（1分）
得x=-1是拋物線y²=2px的準線，即-$\frac{p}{2}$=-1，解得p=2，∴拋物線的方程為y²=4x；-----------------（3分）
可知橢圓的右焦點F₂（1，0），左焦點F₁（-1，0），由|QF₂|=$\frac{5}{2}$，得x_Q+1=$\frac{5}{2}$，又y_Q²=4x_Q，解得Q（$\frac{3}{2}$，$±\sqrt{6}$），-------（4分）
由橢圓的定義得2a=|QF₁|+|QF₂|=$\frac{7}{2}$+$\frac{5}{2}$=6，----------------------（5分）
∴a=3，又c=1，得b²=a²-c²=8，∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．-------------------------（6分）
（II）顯然k≠0，m≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$消去x，得ky²-4y+4m=0，
由題意知△=16-16km=0，得km=1，--------------------------（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$消去y，得（9k²+8）x²+18kmx+9m²-72=0，
其中△₂=（18km）²-4（9k²+8）（9m²-72）＞0，
化簡得9k²-m²+8＞0，-----------------------------------------（9分
又k=$\frac{1}{m}$，得m⁴-8m²-9＜0，解得0＜m²＜9，--------------------（10分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{9{k}^{2}+8}$＜0，
由k²=$\frac{1}{{m}^{2}}$＞$\frac{1}{9}$，得x₀＞-1，∴x₀的取值范圍是（-1，0）．--------------（12分）

點評 本題考查橢圓以及拋物線的簡單性質(zhì)的應用，范圍問題的處理方法，考查轉化思想以及計算能力．