Question

給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=x²+a^x-3只有一個零點；
③函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的一個單調增區(qū)間是[-

π

12

，

5π

12

]；
④對于任意實數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當x＞0時，f′（x）＞0，則當x＜0時，f′（x）＜0．
⑤若m∈（0，1]，則函數(shù)y=m+

3

m

的最小值為2

3

；
其中真命題的序號是

 

（把所有真命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①利用命題的否定形式判斷即可；
②利用y=a^x與y=3-x²的圖象的交點個數(shù)判斷即可；
③由-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

2

可求得函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的一個單調增區(qū)間，觀察該區(qū)間是否包含區(qū)間[-

π

12

，

5π

12

]即可；
④利用偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反即可判斷④的正誤；
⑤利用雙鉤函數(shù)的單調性質判斷即可．

解答： 解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，正確；
②當0＜a＜1時，y=a^x為減函數(shù)，y=3-x²為開口向下的二次函數(shù)，兩曲線有兩個交點，函數(shù)f（x）=x²+a^x-3有兩個零點，故②錯誤；
③由-

π

2

≤2x-

π

3

≤

π

2

得：-

π

12

≤x≤

5π

12

，即函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的一個單調增區(qū)間是[-

π

12

，

5π

12

]，即③正確；
④∵f（-x）=f（x），故y=f（x）為偶函數(shù)，
又當x＞0時，f′（x）＞0，
∴y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，
由偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反知，y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，即當x＜0時，f′（x）＜0，故④正確；
⑤∵y=m+

3

m

，
∴y′=1-

3

m2

，
∴當m∈（0，1]時，y′＜0，即函數(shù)y=m+

3

m

在區(qū)間（0，1]上單調遞減，
∴當x=1時，y_min=1+3=4，故⑤錯誤；
綜上所述，真命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查命題的否定、函數(shù)的零點、函數(shù)的單調性、奇偶性的應用，屬于中檔題．