Question

4．如圖，在三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{7}{8}$
• B． -$\frac{7}{8}$
• C． -$\frac{7}{25}$
• D． $\frac{7}{25}$

Answer 1

分析 利用中位線作出異面直線所成的角，然后在三角形中利用余弦定理求出余弦值即可．
連結(jié)ND，取ND 的中點(diǎn)為E，連結(jié)ME，則ME∥AN，異面直線AN，CM所成的角就是∠EMC．

解答 解：由題意：三棱錐ABCD中，連結(jié)ND，取ND 的中點(diǎn)為E，連結(jié)ME，則ME∥AN，異面直線AN，CM所成的角就是∠EMC．
∵AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，
∴AN=$2\sqrt{2}$，ME=EN=$\sqrt{2}$，MC=2$\sqrt{2}$，
又∵EN⊥NC，∴EC=$\sqrt{N{C}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
cos∠EMC=$\frac{M{C}^{2}+M{E}^{2}-E{C}^{2}}{2MC•ME}$=$\frac{2+8-3}{2×\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{7}{8}$．
∴異面直線AN，CM所成的角的余弦值是$\frac{7}{8}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線所成的角，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．