Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，
上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸相交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

解析試題分析：解：（Ⅰ）連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a1/2/16jfq2.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
即，故橢圓的離心率．
（Ⅱ）由（1）知得于是, ，
的外接圓圓心為），半徑
到直線的最大距離等于，所以圓心到直線的距離為，
所以，得  ，橢圓方程為
（Ⅲ）由（Ⅱ）知, ：
   代入消得  
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/74/4/1zc1r3.png" style="vertical-align:middle;" />過點(diǎn)，所以恒成立
設(shè)，則，
中點(diǎn)                        
當(dāng)時(shí)，為長軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則      
當(dāng)時(shí)中垂線方程．
令，              
，， 可得          
綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是．              
考點(diǎn)：橢圓的方程；橢圓的性質(zhì)；
點(diǎn)評(píng)：關(guān)于曲線的大題，難度相對(duì)都較大。對(duì)于題目涉及到關(guān)于直線和其他曲線的交點(diǎn)時(shí)，一般都可以用到跟與系數(shù)的關(guān)系式：在一元二次方程中，。