Question

已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足

S1+2

a1

+

S2+2

a2

+…+

Sn+2

an

=2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=na_n+1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₁=S₁=6，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求和，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=S₁=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+3 n+2-[（n-1）²+3（n-1）+2]=2n+2，
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)n≥2時(shí)，2b_n=b_n-1+2n+2，則2ⁿb_n=2^n-1b_n-1+（n+1）2ⁿ，
于是2ⁿb_n-2^n-1b_n-1=（n+1）2ⁿ．…（6分）
當(dāng)n≥2時(shí)，2ⁿb_n=2b₁+（2²b₂-2b₁）+（2³b₃-2²b₂）+…+（2ⁿb_n-2^n-1b_n-1），
即2ⁿb_n=2b₁+3•2²+4•2³+…+（n+1）2ⁿ，①
則2ⁿ⁺¹b_n=4b₁+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-2ⁿb_n=12-2b₁+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）2ⁿ⁺¹
=12-2b₁+2ⁿ⁺¹-8-（n+1）2ⁿ⁺¹=4-2b₁-n•2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2n+

b1-2

2n-1

，…（10分）
當(dāng)b₁=2時(shí)，b_n=2n對(duì)所有的n∈N^*都成立．
故當(dāng)b₁=2時(shí)，由題設(shè)確定的數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．